Números complejos y la electrónica
En primer lugar diremos que vamos a analizar el
uso de números complejos para la electrónica de manera práctica desde el punto de
vista aplicativo y no matemático.
Números imaginarios
Los números imaginarios surgen para explicar
operaciones matemáticas que no tienen solución en los reales (definición matemática
ni me pregunten) por ejemplo surgen de hacer la raíz de índice par de un numero
negativo Por ejemplo
Lo que se encuentra junto al dos es una i la cual
denota que el resultado es de tipo imaginario
Bueno ya esta de teoría de esta porquería matemática
sigamos con otra
Números complejos
Los números complejos están compuestos de una
parte real y una parte imaginaria y son usados en electrónica para representar
magnitudes desfasadas mediante algo conocido como fasores concepto que
desarrollaremos mas adelante
Básicamente hay que saber que las rectas numéricas
de los números imaginarios y reales están desfasadas en 90° y que se puede construir
con ellas un plano cartesiano
Existes dos formas de representar a los números
complejos una es la binomica y la otra es la polar
Forma
binomica
Se representa por la suma de la parte real y la
parte imaginaria por ejemplo 2+i3 lo que indica que la parte real del número
complejo vale 2 y la Parte
imaginaria vale 3
Representémoslo en el plano cartesiano
Forma
polar
Es la representación de un numero complejo por dos
magnitudes polares Modulo y Angulo
Modulo es la distancia entre
el 0 del plano cartesiano y el numero en cuestión y se denota como
Angulo que forma la recta de
distancia del modulo y el eje real del plano cartesiano y se denota como
Como vemos d es el modulo del numero complejo y el Angulo
el Angulo
Ejemplo de un numero complejo en cordenadas polares
Ambas representaciones son muy útiles en electrónica
así que analizaremos las relaciones entre ellas
Pasaje de binomica a polar
Como vemos la representación. Binomica forma un
triangulo rectángulo donde la distancia d es la hipotenusa por lo tanto podemos
calcular la distancia por Pitágoras ósea
Veamos
un ejemplo
se quiere
pasar el numero 3+i4 a polar
Si esas cuentas te asustan. No hay problema la
calculadora las hace solas y mejor así
Apretamos la tecla POL (
Luego ponemos la parte real seguida de la coma
Y luego la parte imaginaria
Apretamos igual y optemos el modulo
Y luego la tecla RCL seguida de la tecla TAN y
obtenemos el Angulo
Pasaje de polar a binomica
Como vemos al tratarse de un triangulo rectángulo
podemos utilizar las identidades trigonometriícas para calcular el valor real y
el valor imaginario
Veamos
un ejemplo
Se quiere pasar el número
Entonces nos
queda que
Como siempre con la calculadora es más fácil y se
hace así
Presionamos la tecla REC que en este caso es la
segunda función de la tecla POL ósea que debemos apretar previamente la tecla
de la segunda función
Luego introducimos el modulo seguido de la coma
Y luego introducimos el Angulo
Apretamos igual y obtenemos la parte real
Luego apretamos la tecla RCL seguida de TAN y
obtenemos la parte imaginaria
Suma y resta de números complejos
Se realiza en sistema binómico de la siguiente
forma se suman o restan las partes reales y se suman o restan las partes
imaginarias por separado
Ejemplo para la suma
Ejemplo para
la resta
Multiplicación de números complejos
Para multiplicar números complejos ambos números
deben estar en coordenadas polares y se multiplican los módulos y se suman los ángulos
Ejemplo
División de números complejos
Para dividir números complejos ambos números
tienen que estar en coordenadas polares y se dividen los módulos y se restan
los ángulos
Ejemplo
Raíz de un número complejo
El numero debe estar en coordenadas polares y se
le aplica la raíz al modulo y se divide el ángulo por el índice de la raíz
Ejemplo
Potencia de un. Número complejo
Se eleva el modulo al exponente y se multiplica el
Angulo por el mismo
Ejemplo
Inversa de un número complejo
Se invierte el número y se cambia de signo el ángulo
Multiplicación y división de un número complejo por
un real
En coordenadas polares se multiplica o divide el
modulo por el numero real y el ángulo queda como estaba
En binomica se multiplica o divide la parte real y
la parte imaginaria por separado por el número en cuestión
Expresar números reales en el plano complejo
Simplemente como
En binomica real+i0
En polar el numero real con un ángulo de 0
Ejemplo
Expresar un número imaginario como numero complejo
