Números complejos y la electrónica

Números complejos y la electrónica

En primer lugar diremos que vamos a analizar el uso de números complejos para la electrónica de manera práctica desde el punto de vista aplicativo y no matemático.

Números imaginarios

Los números imaginarios surgen para explicar operaciones matemáticas que no tienen solución en los reales (definición matemática ni me pregunten) por ejemplo surgen de hacer la raíz de índice par de un numero negativo Por ejemplo

Lo que se encuentra junto al dos es una i la cual denota que el resultado es de tipo imaginario

Bueno ya esta de teoría de esta porquería matemática sigamos con otra

Números complejos

Los números complejos están compuestos de una parte real y una parte imaginaria y son usados en electrónica para representar magnitudes desfasadas mediante algo conocido como fasores concepto que desarrollaremos mas adelante

Básicamente hay que saber que las rectas numéricas de los números imaginarios y reales están desfasadas en 90° y que se puede construir con ellas un plano cartesiano

Existes dos formas de representar a los números complejos una es la binomica y la otra es la polar

Forma binomica

Se representa por la suma de la parte real y la parte imaginaria por ejemplo 2+i3 lo que indica que la parte real del número complejo vale 2 y la Parte imaginaria vale 3

Representémoslo en el plano cartesiano

Forma polar

Es la representación de un numero complejo por dos magnitudes polares Modulo y Angulo

Modulo es la distancia entre el 0 del plano cartesiano y el numero en cuestión y se denota como 

Angulo que forma la recta de distancia del modulo y el eje real del plano cartesiano y se denota como 

Como vemos d es el modulo del numero complejo y el Angulo

Ejemplo de un numero complejo en cordenadas polares

Ambas representaciones son muy útiles en electrónica así que analizaremos las relaciones entre ellas

Pasaje de binomica a polar

Como vemos la representación. Binomica forma un triangulo rectángulo donde la distancia d es la hipotenusa por lo tanto podemos calcular la distancia por Pitágoras ósea

Veamos un ejemplo

 se quiere pasar el numero 3+i4 a polar

Si esas cuentas te asustan. No hay problema la calculadora las hace solas y mejor así

Apretamos la tecla POL (

Luego ponemos la parte real seguida de la coma

Y luego la parte imaginaria 

Apretamos igual y optemos el modulo

Y luego la tecla RCL seguida de la tecla TAN y obtenemos el Angulo

Pasaje de polar a binomica

Como vemos al tratarse de un triangulo rectángulo podemos utilizar las identidades trigonometriícas para calcular el valor real y el valor imaginario

Veamos un ejemplo

Se quiere pasar el número

Entonces nos queda que

Como siempre con la calculadora es más fácil y se hace así

Presionamos la tecla REC que en este caso es la segunda función de la tecla POL ósea que debemos apretar previamente la tecla de la segunda función 

Luego introducimos el modulo seguido de la coma

Y luego introducimos el Angulo

Apretamos igual y obtenemos la parte real

Luego apretamos la tecla RCL seguida de TAN y obtenemos la parte imaginaria

Suma y resta de números complejos

Se realiza en sistema binómico de la siguiente forma se suman o restan las partes reales y se suman o restan las partes imaginarias por separado

Ejemplo para la suma

Ejemplo para la resta

Multiplicación de números complejos

Para multiplicar números complejos ambos números deben estar en coordenadas polares y se multiplican los módulos y se suman los ángulos

Ejemplo

División de números complejos

Para dividir números complejos ambos números tienen que estar en coordenadas polares y se dividen los módulos y se restan los ángulos

Ejemplo

Raíz de un número complejo

El numero debe estar en coordenadas polares y se le aplica la raíz al modulo y se divide el ángulo por el índice de la raíz

Ejemplo

Potencia de un. Número complejo

Se eleva el modulo al exponente y se multiplica el Angulo por el mismo

Ejemplo

Inversa de un número complejo

Se invierte el número y se cambia de signo el ángulo

Multiplicación y división de un número complejo por un real

En coordenadas polares se multiplica o divide el modulo por el numero real y el ángulo queda como estaba

En binomica se multiplica o divide la parte real y la parte imaginaria por separado por el número en cuestión

Expresar números reales en el plano complejo

Simplemente como

En binomica real+i0

En polar el numero real con un ángulo de 0

Ejemplo

Expresar un número imaginario como numero complejo

Resolución de circuitos eléctricos con valores comunes de tensión resistencia y corriente en electrónica

Resolución de circuitos eléctricos con valores comunes de tensión resistencia y corriente en electrónica

Lo que debe saber que a diferencia de los libros de resolución de circuitos, donde se utilizan unidades estándar de volt ohm y Amper, en electrónica se suelen emplear unidades derivadas de estas pero de diferente escala y eso suele general algunas complicaciones para los recién iniciados en el arte de la resolución de circuitos que normalmente causan desastres en la misma (ósea mas e uno hemos desaprobado por boludo).

Prefijos

Empecemos desde el principio básico del prefijo, el cual es una letra que precede a la unidad en cuestión y que indica que el valor de la magnitud medida debe ser multiplicado por una potencia de diez

O sea en castellano para obtener el valor real de la magnitud tengo que multiplicar por 1000, 1000000, o 0.001 por ejemplo que son los valores más comunes

Hagamos una tablita con los prefijos mas usados en electrónica

letra	Nombre	Potencia de 10 asociada	Valor asociado	ejemplo
M	Mega		1000000
K	Kilo		1000
m	mili		0.001
origina	-	1	1	-
	Micro		0.000001
n	nano		0.000000001	5na=0.000000005 A
p	Pico		0.000000000001	7pv=0.000000000007

Como se podrá ver en los cuadros de ejemplo se usan magnitudes expresadas de esta manera para simplificar el tipiado de los números y reducir errores por falta de copiado de ceros, suelen ser muy útiles este tipo de expresiones pero se deben tener algunas consideraciones con alguna operaciones como la suma resta, multiplicación y división

Conversión entre prefijos

Existen dos métodos

Método Matemático

Mediante la Calculadora

1-Mediante la siguiente formula

Valor con prefijo nuevo = Valor con prefijo anterior* Valor prefijo anterior/ Valor Prefijo nuevo

Ejemplo

Tengo 15 MOhm y lo quiero pasar a Kohm

 

Valor en KOhm = 15 Mohm 10^6* /10^3=15000 Kohm

Tengo 958 na y lo quiero pasar a m A

Valor en ma =958 na * 10^-9/10^-3=0.000958  mA

2- Mediante la calculadora

Esto lo explicaremos con fotos de los dos ejemplos anteriores hechos con la calculadora

Ejemplo 1

15Mohm a Kohm

Primero escribo el valor seguido de la potencia de diez asociada al prefijo en este caso 10^6

Luego presiono la tecla ENG

Y me corre el prefijo a la potencia de 10^3(Kilo) . cabe aclarar que cada ves que se presiona ENG la potencia se corre en tres unidades

Si quisiéramos llegar a ohm deberíamos apretar nuevamente la tecla ENG

Ejemplo 2

Tengo 250μA y lo quiero pasar a m A

Primero ingreso en la calculadora el valor seguido de la potencia de 10seguido asociada al prefijo en este caso 10^-6

Luego apretamos la tecla shift o 2° función y la tecla ENG

Y ya esta En mili Amper como se había solicitado

Operaciones matemáticas con unidades con prefijos

Suma Y Resta:

Es Obligatorio que para sumar dos magnitudes que ambas estén con el mismo prefijo y sean del mismo tipo de magnitud.

Hoy por hoy con las calculadoras modernas solo basta con ingresar los dos números con sus potencias de diez asociadas al prefijo y ya esta para obtener el resultado

Ejemplo

2A + 500 ma

Multiplicación y división

Simplemente se necesita escribir las magnitudes con su potencia de 10 asociadas y multiplicar los valores y sumar las potencias.

Ejemplo

 Se requiere calcular la potencia en una carga a la que se le aplican 25mV y circulan  15 nA sabiendo que la potencia es P= V * I

P=25*10^-3*15*10^-9=25*15*10^(-3+(-9))=375*10^(-12)

Ahora hagamos lo mismo con la calculadora

Apretamos la tecla ENG para llevar el resultado a una potencia de diez con prefijo conocido y ya esta

Nota: la letra E significa x10^ y se coloca con la tecla Exp al fondo de la calculadora

División

La división es simple primero se representan  ambas magnitudes con sus potencias de diez asociada al los prefijos ejemplo .Luego se dividen los números y se restan los exponentes .veamos el siguiente ejemplo

Se quiere encontrar la resistencia a la que si se aplican 125 mv se obtiene una corriente de 11γA

R=125mv:11γA=125*10^-3:(11*10^-6)=125:11*10^(-3-(-6))=11.36*10^3

Ósea en términos electrónicos 11.36KΩ

Veamos con la calculadora a ver como nos va

Primero ingreso los valores

Luego apretó la tecla igual

Y al apretar la tecla ENG pasó a la notacion con el prefijo más cercano

Y ya esta así de simple

NOTAS FINALES

Como se puede ver se emplearon dos tipos de calculadoras una Casio de gama media y la calculadora científica mas barata que pude conseguir y ambas son completamente funcionales. Para que tengan una idea la mas barata me salio menos de 10 dólares

Reglas mnemotécnicas

Bueno como hacían los abuelitos ja ja ja ósea yo para calcular esto sin tanta calculadora bueno usábamos reglas básicas como

mv;ma=Ω

 v:ma=KΩ

V:μA=MΩ   y todas sus combinaciones

Pero mi recomendación es que usen la calculadora