Teorema de Thevenin

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Teorema de Thevenin

Introducción

Lo primero que piensa cualquier alumno cuando escucha este nombre es “ya esta este seguro que lo desapruebo” pero no es la cosa mas complicada del mundo.

Primero  analicemos para que sirve, el teorema de Thevenin se emplea para reducir circuitos complejos en un circuito simple de una fuente una resistencia en serie y la carga, aja y eso para que, bueno muchas veces sucede que en ciertos casos la carga que se aplica a un circuito varia, eso provoca que halla que recalcular todo el circuito, no obstante si el circuito fue reducido a un simple equivalente Thevenin esto es mas fácil.

Otra de las razones es que muchas veces cuando analizamos un circuito es mejor simplificar partes del mismo en un equivalente thevening.

En el sig esquema se ilustra esto

Teorema de Thevenin

Enunciado

Una parte de un circuito lineal (*) ,comprendida entre los terminales A y B puede ser sustituido por una fuente de Tensión conocida como tensión de thevenin Vth y  una resistencia Conocida como Resistencia de thevenin o Rth , actuando estos elementos de manera análoga a como se comportaría el circuito original.

Bueno la teoría en muy Bonita y la practica como se lleva acabo

Para ello fiel a nuestro modus operandi desarrollaremos un ejemplo y una serie de pasos a seguir, como ejemplo tomaremos el ya clásico y famoso divisor resistivo, si no sabes que es un divisor resistivo ya lo veras

Ejemplo 1) Divisor resistivo con carga

Primero debemos hallar los dos componentes del circuito equivalente, desarrollaremos por separado cada uno

Resistencia de Thevenin

1)      Retiramos la carga

2)      Cortocircuitamos las fuentes de tensión y borramos las fuentes de corriente

3)      Mediante método de serie y paralelo sacamos la resistencia equivalente que tengo entre los terminales A y B

Paso 1 - Retiramos la carga

Pasó 2 –

Paso 3

Si observamos ambas resistencias tienen dos terminales en común por ende están en paralelo y la R resultante de este paralelo es la Rth

Rth=10 ohm// 5 ohm =3,333 ohm

Tensión de Thevenin

1)      Retiramos la carga

2)      Mediante método de tensión entre dos puntos sacamos la tensión equivalente que tengo entre los terminales A y B (nota al estar desconectada la carga la corriente por esa rama se anula

Paso 1 - Retiramos la carga

Paso 2 – Mediante método de tensión entre dos puntos sacamos la tensión equivalente que tengo entre los terminales A y B (nota al estar desconectada la carga la corriente por esa rama se anula

Recordemos cuales son los pasos de este método

1) Planteo las corrientes del circuito

2) Cálculo las corrientes del circuito con algún método de resolución de circuitos (obviamente el  que más me convenga)

3) Calculo la tensión entre los puntos mediante la ley de Kirchhoff modificada

Prosigamos entonces

1- Planteo las corrientes del circuito

2) Cálculo las corrientes del circuito

Esto es fácil solo tenemos una malla así que vamos a plantearla

12v=I * 5 OHM + I * 10 OHM

12V=I * (15 OHM)

12V/15OHM = I

0,8 A

3) Calculo la tensión entre los puntos mediante la ley de Kirchhoff modificada

Voy a calcular la tensión VAB por lo tanto Voy a ir desde A hasta B

Recordemos que

Dada una trayectoria dentro de un circuito. La tensión de partida (VA) menos la tensión de llegada (VB) mas la suma de las fuentes de tensión a lo largo de la trayectoria tomada con su correspondiente signo es igual a la suma de todas las caídas de tensión con su correspondiente signo  que produzcan las corrientes el circuito a lo largo de dicha trayectoria.

Va-Vb= I* 10ohm

Va-Vb=0.8 A* 10ohm=8V

Entonces VTH=8V

Ya tenemos los dos elementos correspondientes al circuito equivalente thevening

Ahora solo nos queda expresarlos

Y listo ya podemos calcular la respuesta al circuito ante diferentes valores de RC

Como este es un caso muy típico , desarrollaremos un ejemplo genérico para cualquier divisor resistivo

Donde

Y

RTH se calcula como el paralelo de R1 y R2

Ejemplo 2

Ahora si la complicamos demasiado

Los pasos son los mismos

Primero calculemos la RTH

Resistencia de Thevenin

1) Retiramos la carga

2) Cortocircuitamos las fuentes de tensión y borramos las fuentes de corriente

3) Mediante método de serie y paralelo sacamos la resistencia equivalente que tengo entre los terminales A y B

1) Retiramos la carga

2) Cortocircuitamos las fuentes de tensión y borramos las fuentes de corriente

Ahora por el método de reducción por circuito equivalente sacamos la resistencia entre los terminales A y B

Quedando el siguiente circuito equivalente

Como ambas resistencias están en serie la Rtotal que en este caso es la Rth es de

Rth=7,49ohm

Paso 2 – Mediante método de tensión entre dos puntos sacamos la tensión equivalente que tengo entre los terminales A y B (nota al estar desconectada la carga la corriente por esa rama se anula

Recordemos cuales son los pasos de este método

1) Planteo las corrientes del circuito

2) Cálculo las corrientes del circuito con algún método de resolución de circuitos (obviamente el  que más me convenga)

3) Calculo la tensión entre los puntos mediante la ley de Kirchhoff modificada

Prosigamos entonces

1)      Planteo las corrientes del circuito

2) Cálculo las corrientes del circuito con algún método de resolución de circuitos (obviamente el  que más me convenga)

Este es un caso muy particular, observemos que tengo dos mallas unidas por una sola rama R=5 ohm, cuando esto ocurre lo que pasa es que no tengo circulación de corriente entre ellas ósea I3 =0 A esto suelo ocurrir cuando se realiza thevening y hay que estar atento, y la corriente es cero porque no hay circuito cerrado que permita su circulación, es como tener un interruptor abierto en este caso el interruptor era la R de carga que retiramos del circuito

Por lo tanto solo tenemos que plantear dos mayas así que usaremos el teorema de mayas

Malla 1

12 v – 3v = I1 *15 ohm + I1 *1  ohm + I1 * 1 ohm

9 v=I1*(15 ohm + 1  ohm + 1 ohm )

9 v = I1 *(17 ohm)

9 v/ (17 ohm)  = I1

0,529 A= I1

Malla 2

12 v + 5 v = I2 *  7 ohm + I 2 * 2 ohm

17 v = I2 * (7 ohm + 2 ohm)

17v = I2 * 9ohm

17 v / 9 ohm= I2

1,888 A = I2

3) Calculo la tensión entre los puntos mediante la ley de Kirchhoff modificada

Voy a calcular la tensión VAB por lo tanto voy a ir desde A hasta B

Recordemos que

Dada una trayectoria dentro de un circuito. La tensión de partida (VA) menos la tensión de llegada (VB) mas la suma de las fuentes de tensión a lo largo de la trayectoria tomada con su correspondiente signo es igual a la suma de todas las caídas de tensión con su correspondiente signo  que produzcan las corrientes el circuito a lo largo de dicha trayectoria.

VAB+3V – 5 V  = - 7 ohm* I2 + 5v + I3 * 5 ohm – I1* 1 ohm – 3v

VAB = - 7 ohm* I2 + 5v + I3 * 5 ohm – I1* 1 ohm – 3v

VAB=- 7 ohm *(1.888 A) + 5v + 0A * 5 ohm – 0,529 A * 1 ohm

VAB=-9,64 v+ 5v + 0v – 0,529 v

VAB=-5,16 v

Entonces VTH= -5,16 v

Por lo tanto el equivalente queda

Como Vth en negativo podemos invertir la fuente de tensión

Ejemplo 3

Los pasos son los mismos

Primero calculemos la RTH

Resistencia de Thevenin

1) Retiramos la carga

2) Cortocircuitamos las fuentes de tensión y borramos las fuentes de corriente

3) Mediante método de serie y paralelo sacamos la resistencia equivalente que tengo entre los terminales A y B

1) Retiramos la carga

2) Cortocircuitamos las fuentes de tensión y borramos las fuentes de corriente

Ahora por el método de reducción por circuito equivalente sacamos la resistencia entre los terminales A y B

Quedando el siguiente circuito equivalente

Paso 2 – Mediante método de tensión entre dos puntos sacamos la tensión equivalente que tengo entre los terminales A y B (nota al estar desconectada la carga la corriente por esa rama se anula

Recordemos cuales son los pasos de este método

1) Planteo las corrientes del circuito

2) Cálculo las corrientes del circuito con algún método de resolución de circuitos (obviamente el  que más me convenga)

3) Calculo la tensión entre los puntos mediante la ley de Kirchhoff modificada

Prosigamos entonces

1) Planteo las corrientes del circuito

Como la rama de I5 esta abierta la corriente por esta rama es igual a cero ósea I5=0

2) Cálculo las corrientes del circuito con algún método de resolución de circuitos (obviamente el  que más me convenga)

Volvemos a utilizar el método de las mallas por ser el más simple, la rama de I5 no se plantea por que ya se sabe el resultado de dicha corriente

Malla 1

12v-3v=I1*(15Ohm+1Ohm+1Ohm)-I2*1 Ohm

9v=I1* 17 ohm – I2* 1 Ohm

Malla 2

3v -5v = I2*(1 ohm + 5 ohm + 7 ohm + 5 ohm) – I1 * 1 ohm

-2v = I2 *18 ohm –I1 * 1 ohm

Reordeno

-2v =–I1 * 1 ohm+ I2 *18 ohm

Planteo el sistema de ecuaciones

9v=I1* 17 ohm – I2* 1 Ohm

-2v =–I1 * 1 ohm+ I2 *18 ohm

No lo vamos a resolver detalladamente simplemente exponemos los resultados de esta resolución

I1 = 0,524 A

I2 = -0,0819 A

Comparando las corrientes de malla con las corrientes reales del circuito planteadas originalmente

I1= Im1= 0,524 A

I2=Im2-Im1=-0,0819 A-0,524 A=-0,605 A

I3=Im2= -0,0819 A

I4=Im2=-0,0819 A

3) Calculo la tensión entre los puntos mediante la ley de Kirchhoff modificada

Voy a calcular la tensión VAB por lo tanto voy a ir desde A hasta B

Recordemos que

Dada una trayectoria dentro de un circuito. La tensión de partida (VA) menos la tensión de llegada (VB) mas la suma de las fuentes de tensión a lo largo de la trayectoria tomada con su correspondiente signo es igual a la suma de todas las caídas de tensión con su correspondiente signo  que produzcan las corrientes el circuito a lo largo de dicha trayectoria

Va-Vb – 5 V – 12 V = I 4 * 7 ohm + I5 * 5 ohm

Va-Vb = I 4 * 7 ohm + I5 * 5 ohm + 5 V + 12 V

Va-Vb = 0,0819A * 7 ohm + 0 A * 5 ohm + 5 V + 12 V

Va-Vb=17,573 V

Vth=17,573 V

Entonces VTH= 17,573 V

Por lo tanto el equivalente queda

RESOLUCION DE CIRCUITOS POR TEOREMA DE LOS NODOS

Método del los nodos

Se basa en la ley de Kirchhoff de la corrientes , la cual dice , las sumas de las corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen del mismo, como siempre daremos un ejemplo

En esta caso para el nodo A I1+I2=I3

Bueno y como se usa el metodo del los nodos , es simple consiste en determinar las tensiones en todos los nodos del circuito tomando un nodo como referencia ( 0 v )

Para implematarlo utilizaremos una serie de pasos

1-      Planteo de las corrientes del circuito

2-      Tomo un nodo de referencia (simbólicamente poniéndolo a masa)

3-      Planteo la tensión entre los nodos de cada rama y despejo la corriente de dicho planteo (obviamente la corriente me va a quedar en función de la tensión de los nodos)

4-      Planteo la ley de kichhoff en cada nodo del circuito que no sea el de referencia

Es decir que siempre planteo la cantidad de nodos que tiene el circuito menos uno.Una vez efectuado lo anterior remplazo las corrientes plantedas en el paso anterior en las ecuaciones de los nodos , obteniendo asi un sistema de ecuaciones

5-      Resuelvo las ecuaciones obtenidas en el paso anterior obteniendo las tensiones de los nodos con respecto al nodo de referencia

6-      Remplazo las tensiones obtenidas en el paso 5 en las ecuaciones el paso 3 y obtengo las corrientes del circuito

Vieron simple y censillo , que lindo no . no se asusten veamos un ejemplo

Ejemplo

Dado el circuito

Paso 1)Planteo de las corrientes del circuito

Paso 2) Tomo un nodo de referencia (simbólicamente poniéndolo a masa)

Paso 3) Planteo la tensión entre los nodos de cada rama y despejo la corriente de dicho planteo (obviamente la corriente me va a quedar en función de la tensión de los nodos

Este es el paso mas difícil , para ello usamos la ley de Kirchhoff modificada vista en el metodo de tension entre dos puntos

Recordemos

La tensión de partida menos la tensión de llegada mas la suma de las fuentes de tensión(con su correspondiente signo) a lo largo de la trayectoria tomada con su correspondiente signo es igual a la suma de todas las caídas de tensión (con su correspondiente signo)  que produzcan las corrientes el circuito a lo largo de dicha trayectoria.

La fuente de tensión que planteo para cada trayectoria tiene un signo asociado +/- , el planteo es simple, siguiendo la trayectoria si salgo por el terminal positivo la fuente es positiva, si salgo por el negativo la fuente es negativa

                                                                                         

El signo de las caídas de tensión en la trayectoria es positivo si la corriente que la produce va en el mismo sentido que la trayectoria del circuito que estoy planteando y negativo en caso contrario

En este caso existen tres ramas a plantear , como debo definir trayectorias entre nodos siempre me conbiene que las trayectorias de cada rama vayan hacia el nodo de referencia , de tener una rama entre dos nodos que no sea de referencia ninguno de los dos el sentido de la trayectoria es ambiguo, mas adelante explicaremos esto mas en detalle

En este caso todos las trayectorias van hacia el nodo de referencia

Trayectoria rama 1

Según la ley de Kirchhoff modificada

VA(tension de partida)- Vb(tensionde llegada)-5v = -I1*1 ohm – I1*8 ohm

(donde la fuente de tension de v1 es negativa porque siguiendo la trayectoria salgo  por el terminal negativo de la misma y las caidas de tension en las resistencias son negativas porque la trayectoria planteada es contraria a la corriente que circula en la rama)

Recordando que VB es cero por ser el nodo de referencia

VA-5v=- I1 * 9 ohm

Paso el -9 ohm para el otro lado dividiendo y me queda que

(VA-5v)/-9 ohm= I1

Distribuyendo

Bueno ustedes me diran fracciones para que , bueno por desgracia es la mejor forma de ordenar el metodo sin que quede mucho quilombo matemático .

Trayectoria rama 2

VA(tension de partida)- Vb(tensionde llegada)-15v = -I2*3 ohm

(donde la fuente de tension de v2 es negativa porque siguiendo la trayectoria salgo  por el terminal negativo de la misma y la caida de tension en la resistencia es negativa porque la trayectoria planteada es contraria a la corriente que circula en la rama)

Recordando que VB es cero por ser el nodo de referencia

VA-15v=- I2 * 3 ohm

(VA-15v)/-3 ohm= I2

Trayectoria rama 3

VA(tension de partida)- Vb(tensionde llegada)-12v = I3*2 ohm +I3*10 ohm

Recordando que VB es cero por ser el nodo de referencia

(donde la fuente de tension de v3 es negativa porque siguiendo la trayectoria salgo  por el terminal negativo de la misma y la caida de tension en la resistencia es positiva porque la trayectoria planteada concuera con el sentido de la corriente que circula en la rama)

VA-12v= I3 * 12 ohm

(VA-12V)/12 OHM=I3

Paso 4 ) Planteo la ley de kichhoff en cada nodo del circuito que no sea el de referencia

Es decir que siempre planteo la cantidad de nodos que tiene el circuito menos uno.Una vez efectuado lo anterior remplazo las corrientes plantedas en el paso anterior en las ecuaciones de los nodos , obteniendo asi un sistema de ecuaciones

En este caso Puntual tenemos un unico nodo que plantear el nodo A

Según la ley de Kirchhoff de la corriente para este circuito

I1+I2=I3

Pero recordemos que

Remplazando en la ecuación del nodo

I1+I2=I3

Paso 5)Resuelvo las ecuaciones obtenidas en el paso anterior obteniendo las tensiones de los nodos con respecto al nodo de referencia

Despejando los numero de un lado y las incognitas del otro me que

Sacando factor comun VA

Resoviendo la suma de fracciones

Pasando para el otro lado dividiendo (Que en fracciones es lo mismo que pasar la fraccion invertida)

Paso 6)Remplazo las tensiones obtenidas en el paso 5 en las ecuaciones el paso 3 y obtengo las corrientes del circuito

Y asi hemos terminado el ejemplo 1

Ejemplo 2

1)      Planteo de las corrientes del circuito e identifico los nodos

En este ejemplo vemos una trampa grafica del circuito a simple vista en la parte inferior del circuito vemos dos nodos pero entre si no existe ninguna separación eléctrica por lo tanto se trata de un único nodo que simbolizaremos con la letra C.

2)      Tomo un nodo de referencia (simbólicamente poniéndolo a masa)

3) Planteo la tensión entre los nodos de cada rama y despejo la corriente de dicho planteo (obviamente la corriente me va a quedar en función de la tensión de los nodos)

No es necesario que ustedes indiquen todas las ramas del circuito y las trayectorias empleadas yo lo hago a modo ilustrativo , para que sea mas facil entender el planteo de las trayectorias , a modo ilustrativo yo trato de  tomar las trayectorias en el mismo sentido que las corrientes de la rama planteadas esto es debido a que LAS CAIDAS DE TENSION EN LAS RESISTENCIAS me quedan positivas y no se complica tanto con los signos a la hora del despeje de las ecuaciones , nota si se observa el ejemplo anterior veran que se hizo al reves y todas las caidas de tension quedaron negativas lo cual complica el despeje .

Planteo de las tensiones entre nodos

Rama 1

Como VC=0

Rama 2

Como VC=0

Rama 3

Rama 4

Como VC=0

Rama 5

Como VC=0

4) Planteo la ley de kichhoff en cada nodo del circuito que no sea el de referencia

Es decir que siempre planteo la cantidad de nodos que tiene el circuito menos uno.Una vez efectuado lo anterior remplazo las corrientes plantedas en el paso anterior en las ecuaciones de los nodos , obteniendo asi un sistema de ecuaciones

Nodo A

I1 = I2 + I3

Como regla general de resolucion de ecuaciones ponemos los numeros de un lado y las incognitas del otro

Agrupo las incognitas iguales

Sacandome las fracciones de encima

Olvidándome de los 1/ ohm que me complican la vida

Que es una ecuación con dos incognitas

NODO B

I3+I4+I5=0 A

Repito todos los pasos del nodo anterior

Que es otra ecuación con dos incógnitas

5) Resolución de ecuaciones

Y que tenemos entonces

Un sistema e ecuaciones con dos incognitas que resolveremos ,con el metodo del determinante ,pero no lo desarrollaremos en este ejemplo

Quedando como resultado

VA=5,3 V

VB=4.8V

6-Remplazo las tensiones obtenidas en el paso 5 en las ecuaciones el paso 3 y obtengo las corrientes del circuito

Ejercicios propuestos

1)

NO LES DOY LA SOLUCION SI  NO PUEDEN RESOLVERLO DEJENCE DE JODER

2)

3)

4)

Nota los amperimotros son solo para que ustedes tengan las corrientes del circuito considerar que no estan para el desarrollo del mismo

Nota

Método de los nodos y circuitos esquematizados de manera no cerrada

Estos circuitos tienen como característica que su esquematización consiste en que la tensión entra por un punto y que el nodo de referencia que se debe tomar es la masa esquematizada la cual cierra todo el circuito

Ejemplo

Planteo de las corrientes

Para simplificar el ejemplo y en estos casos conviene que la trayectoria siga el mismo sentido que la corriente planteada

Corriente I1

Corriente I2

Corriente I3

Ahora planteamos el nodo

Listo solo queda calcular las corrientes pero se lo dejo a ustedes yo ya trabaje mucho.

Ejercicios relacionados