Metodo del determinante para La resolucion de Sist de ecuaciones


Método del determinante

No nos vamos a poner a desarrollar como es ni como es que resuelve las ecuaciones eso se lo dejo a los matemáticos yo solo les voy a explicar como usarlo primero con ecuaciones al azar y luego con las ecuaciones del circuito que venimos desarrollando en los sistemas mas habituales para dos y tres incógnitas, para mas incógnitas este método no se usa

Ejemplo 1 : Resolución de sistema de ecuaciones de dos ecuaciones con dos incognitas

Para señalizar que estamos en terreno de las matemáticas en vez de calcular corrientes calcularemos incógnitas X e Y (que lindo!!). Antes que nada debemos saber que las ecuaciones deben estar ordenadas es decir cada incógnita en su columna
7= 5X + 2Y                            7= 5X + 2Y
2= 5Y-2X                               2=-2X + 5Y
Ecuaciones desordenada        Ecuaciones ordenadas
Ahora concentremos nos en los números y los signos y olvidemos de  la ecuación en si obteniendo lo sig


Vemos que tenemos un arreglo de numeros llamado matriz a esta matriz le calcularemos es determinante, hemos separado los numeros en dos terminos Factores correspondientes a los numeros que acompañaban a las ingnitas y cofactores correspondientes a las constantes del sistema de ecuaciones

Determinante de los factores

Se calcula como el producto de los términos de la diagonal que baja menos el producto de los terminos de la diagonal que sube . El triangulito es el signo matemático del determinante y las dos rallas verticales indican que se esta calculando el determinante


Ahora calculamos el determinante de la matriz de cofactores x , en castellano hacemos lo mismo que antes solo que donde estaban las constantes que acompañaban a las X ponemos los cofactores quedando asi


Y ahora calculamos el determinante de la matriz resultante

Hacemos lo mismo para la matriz de cofactores Y



Bueno y ahora después de hacer todo esto que pocos enteneran para que se hizo calculamos X e Y




Y asi es que funciona el metodo del determinante en un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas

Ejemplo 2 : Resolucion de sistema de ecuaciones de tres ecuaciones con tres incognitas

El principio de resolucion es el mismo solo que cambia la forma en la que se calcula el determinante


7= 4X + 2Y+ 1Z
2=-2X + 5Y - 1Z
3=   X  +  Y +Z

Como hicimos antes abstraigámonos de las incognicas y concentremos nuestra atención en los numeros recordando que aquellas incognitas que no estan acompañadas de un numero significan que ese numero es 1 y que se debe preservar el signo



Calculo del determinante de la matriz de factores

Se repiten a continuación de la matriz de factores las primeras dos filas y luego el determinante se calcula como la suma de los productos de las diagonales completas que bajan(Azules) – la suma de los productos de las diagonales completas que suben(Rojas), tomando a entender que diagonal completa es aquella que tiene tres términos.

Calculo del determinante de la matriz de cofactores X









Calculo del determinante de la matriz de cofactores Y









Calculo del determinante de la matriz de cofactores Z




Bueno y ahora después de hacer todo esto que pocos enteneran para que se hizo calculamos X , Y y Z



Tensión entre dos puntos



Tensión entre dos puntos

Para este tema desarrollaremos una modificación de la ley de Kirchhoff que según recordamos decía

La suma de las fuentes de tensión a lo largo de una trayectoria cerrada con su correspondiente signo es igual a la suma de todas las caídas de tensión con su correspondiente signo  que produzcan las corrientes el circuito a lo largo de dicha trayectoria.

Como vemos la ley de Kirchhoff se aplica únicamente a trayectorias cerradas, Nosotros la modificaremos un poquito para que funcione entre dos puntos del circuito.

Ley de Kirchhoff modificada

Dada una trayectoria dentro de un circuito. La tensión de partida menos la tensión de llegada mas la suma de las fuentes de tensión (con su correspondiente signo)  a lo largo de la trayectoria tomada con su correspondiente signo es igual a la suma de todas las caídas de tensión (con su correspondiente signo)  que produzcan las corrientes el circuito a lo largo de dicha trayectoria.

Cave aclarar que si el punto de llegada es igual al punto de partida (Trayectoria cerrada) obtenemos nuevamente la ecuación original

La fuente de tensión que planteo para cada trayectoria tiene un signo asociado +/- , el planteo es simple, siguiendo la trayectoria si salgo por el terminal positivo la fuente es positiva, si salgo por el negativo la fuente es negativa
                                                                                         
El signo de las caídas de tensión en la trayectoria es positivo si la corriente que la produce va en el mismo sentido que la trayectoria del circuito que estoy planteando y negativo en caso contrario

Nomenclatura para la tensión entre dos Puntos

Dados dos puntos A y B se dice Que la diferencia de tensión entre estos puntos el la resta de las tensiones entre ellos. Pero se ha de preveer que VA-VB=-(VB-VA)
La forma de notar la tensión entre dos puntos es la SIG
VAB= VA-VB
VBA=VB-VA


Calculo de la tensión entre dos puntos del circuito

Como ya hemos expresado en análisis anteriores del circuito se deberán cumplimentar ciertos pasos para el calculo de la tensión entre dos puntos, a continuación analizaremos los mismos junto con un ejemplo para hacer mas ameno el desarrollo del método
Tomaremos el SIG circuito tratando de calcular la tensión entre los puntos A y B
Pasos a seguir

1) Planteo las corrientes del circuito

2) Cálculo las corrientes del circuito con algún método de resolución de circuitos (obviamente el  que más me convenga)

3) Calculo la tensión entre los puntos mediante la ley de Kirchhoff modificada

1) Planteo las corrientes del circuito
2) Cálculo las corrientes del circuito con algún método de resolución de circuitos (obviamente el  que más me convenga)

Como este circuito es una papa de una sola malla vamos a utilizar el teorema de mallas sin complicarlo mucho

Planteo de la ecuación de malla
12V-2V+3V=I* 1 ohm+I*15 ohm +I*3Ohm+I*8ohm
13 V=27 ohm * I
13 V/ 27 ohm = I
0,4818A= I
I=0,4818 A

3) Calculo la tensión entre los puntos mediante la ley de Kirchhoff modificada

Voy a calcular la tensión VAB por lo tanto Voy a ir desde A hasta B
Recordemos que
Dada una trayectoria dentro de un circuito. La tensión de partida (VA) menos la tensión de llegada (VB) mas la suma de las fuentes de tensión a lo largo de la trayectoria tomada con su correspondiente signo es igual a la suma de todas las caídas de tensión con su correspondiente signo  que produzcan las corrientes el circuito a lo largo de dicha trayectoria.

Ahora desarrollemos la Ecuación de la tensión entre dos puntos tomando la siguiente trayectoria según indica la Figura
Donde la fuente de 2v es negativa porque salgo por el terminal negativo de la misma y ambas caídas de tensión son positivas debido a que la trayectoria tomada va en el mismo sentido que la corriente.

VA-VB-2V= 0,4818 A * 1 ohm+ 0,4818 A *15 ohm
VA-VB-2V=0,4818 V + 7,2227 V
VA-VB=0,4818 V + 7,2227 V+2V
VA-VB=9,7088V
VAB=9,7088 V

Ahora bueno si hicimos todo bien so tomamos una trayectoria diferente la tensión debe ser la misma

VA-VB=-0,4818 A* 8 ohm – 0,4818 A* 3ohm +12 V + 3v
VA-VB=-3,8544 v – 1,4454 V +12 V + 3V
VA-VB=9,7002 v
Bueno como hemos visto hay una pequeña diferencia la cual se debe al redondeo que hemos efectuado en el cálculo de la corriente

Ejemplo 2
Tomemos el SIG circuito



1 – Planteo las corrientes del circuito
2- Resuelvo las corrientes del circuito

Como se trata de un circuito de dos mallas es ideal para aplicar mallas. Por lo tanto uso el teorema de mallas para resolver el circuito, para este caso utilizaremos el método simplificado

La ecuación de la malla 1 serian las SIG

12V-2v+3V=I1*(1+15+3+8OHM)-I2*3 ohm
13V=I1*27 ohm – I2 * 3 Ohm

La ecuación de la malla 2 seria
2v-12v=I2*(2+1+10+3 ohm)- I1 * 3 ohm
-10V=I2* 16ohm – I1 *3 ohm
Ordenando
-10V=– I1 *3 ohm I2* 16ohm

Quedando el sistema de ecuaciones

13V=I1*27 ohm – I2 * 3 Ohm

-10V=– I1 *3 ohm I2* 16ohm

Resolviendo dicho sistema (NI SUEÑEN QUE LO VOY A DESARROLLAR)

I1=0,42 A
I2=-0,546 A

Ahora las corrientes reales del circuito según lo planteado en el paso uno serial
(SE DEBE RECORAR QUE LAS CORRIENTES DE MALLA NO SON LAS CORRIENTES REALES DEL CIRCUITO)

I1=Im1=0,42 A

I2=Im1-Im2=0,42- (-0,546)=0,966A

I3 = - Im2=0,546 A

3) Calculo la tensión entre los puntos mediante la ley de Kirchhoff modificada

Voy a calcular la tensión VAB por lo tanto Voy a ir desde A hasta B SEGÚN EL CAMINO SEÑALADO

VA-VB-12v-3V=-I1*8 ohm + I3 * 10 ohm
Donde la fuente V1 es negativa porque salgo por e l terminal negativo de la misma, la caída de tensión en r2 en negativa porque voy en contra de la corriente, la tensión en V3 es negativa porque salgo por el terminal negativo de la fuente y la caída de tensión en R6 es positiva porque voy en el mismo sentido que la corriente que la produce.

VA-VB=-I1*8ohm + I3 *10 ohm+12v+3v
VAB=-0,42A*8 OHM+0,546A*10 OHM+12v+3V=17,1 V
VAB=17,1 v

Para corroborar los resultados usemos otra trayectoria

VA-VB-12v=I1*1 ohm + I1*15 ohm- I3 * 2 ohm - I3 * 1 ohm
VA-VB=0,42*1 ohm + 0,42*15 ohm- 0,546 * 2 ohm – 0,546A * 1 ohm+12v
VAB=17,082 V

Este mis queridos lectores es un clásico ejercicio de examen en el cual nos evalúan mallas y tensión entre dos puntos.

Ejercicios propuestos
Calcular la tension VAB e los sig circuitos
1)


SOL : VAB=-6,409 V


2)
SOL : VAB= 10,89 V











3)


SOL : VAB= -6,816 V